с
л
о
в
а
р
ь

П
С
И
Х
О
Л
О
Г
И
Я

ЛАБОРАТОРИЯ ПРОСТРАНСТВ
galactic.org.ua
ЧЕЛОВЕК
.


ЛОГИЧЕСКИЙ - ЛОГИЧНОСТЬ - ЛОГИКА - ЛОГИСТИКА

 


Логический - соответствующий закону мышления, формально правильный, относящийся к логике.

Логичность - характер, особенность логического. Противоположность - фактичность.

Логицизм - молчаливое или высказанное предпочтение логического способа рассмотрения перед психологическим; понимание математики как логической дисциплины; логицистический - зависящий от логики.

Логическая уловка - логическое умозаключение, вынуждающее человека путем всевозможных запутываний и затуманиваний согласиться с утверждением. См. также "Лжец", Умозаключение ошибочное.

Логизм - умозаключение, учение о логической упорядоченности мира (см. Панлогизм).

Логика (от греч. logos - логос) 1) способность правильно, т.е. логически, мыслить;
2) учение о тождестве и его отрицании (Г. Якоби), учение о последовательности и методах познания (наука логики).
В качестве «элементарной формальной логики» она имеет дело с самыми общими свойствами, присущими всем (имеющимся) понятиям.

Осн. свойства понятий выражаются в логических аксиомах (см. Аксиома).
Сначала рассматривается учение о понятии, затем следует учение о суждении и, наконец, умозаключении.
Учения о логических аксиомах, понятии, суждении и умозаключении, взятые вместе, образуют чистую логику.

Прикладная логика охватывает в традиционной логике учение об определении, о доказательстве, о методе.
Ей часто предпосылаются не научно-логические, а теоретико-познавательные, психологические учения о переживании, описании и формулировании (особенно с помощью специального языка, терминологии) и об образовании понятий.
Иногда к ней присоединяют учение о системе.

Логика (как наука) - лишь учение о мышлении в понятиях, но не о познании посредством понятий; она служит повышению формальной точности сознания и объективности содержания мышления и познания.

Основателем западноевропейской логики (как науки) является Аристотель, «отец логики».
Слово «логика» появилось впервые у стоиков; они и неоплатоники уточнили отдельные моменты ее, а в эпоху средневековья схоластика разработала ее в мельчайших подробностях, в тонкостях.
Гуманизм изгнал из логики схоластику, но обновить ее не мог.
Реформация взяла на вооружение логику Меланхтона,
Контрреформация - логику Суареса.
Поднявшись принципиально над схоластикой, развивал логику Иоганнес Штурм из Страсбурга; более известным стал Пьер Раме.
С 17 в. стало заметным влияние на логику сфер мысли, связанных с математикой, причем в геометрическом методе Спинозы оно было меньше, чем у Лейбница, который использовал в логике совершенствующиеся естественнонаучные методы.
От Лейбница и математики, а также и от неосхоластики пошла логика школы Вольфа.
Кантовская «трансцендентальная логика» есть в действительности критическая теория познания, логика нем. идеализма (особенно логика Гегеля) - спекулятивная метафизика.
Шопенгауэр, Ницше, Бергсон и сторонники философии жизни отбросили традиционную логику.

В настоящее время логика распалась на множество направлений:
1) метафизическая логика (гегельянство);
2) психологическая логика (Т.Липпс, отчасти В.Вундт);
3) теоретико-познавательная, или трансцендентальная, логика (неокантианство);
4) семантическая логика (Аристотель, Кюльпе, современный номинализм);
5) предметная логика (Ремке, Мейнонг, Дриш);
6) неосхоластическая логика;
7) феноменологическая логика;
8) логика как методология (неокантианство) и логистика, которая находится в центре споров о логике.

ЛОГИСТИКА (математическая логика; англ, symbolic logic) - современная форма логики.
Она отличается от старой, традиционной логики прежде всего своей формализированностью (т.е. принимает во внимание не содержательное значение отдельных высказываний, а лишь их синтаксические категории и их структурные связи) и тем, что ее осн. методом является логическое исчисление (это значит, что выражения можно преобразовывать согласно строгим правилам чисто формально, с ними можно производить логические выкладки).
Не из необходимости, но большей частью исходя из практических соображений она широко использует символику (т.е. отдельные выражения обозначает совершенно определенными знаками) и аксиоматику (т.е. все существующие знаки определяются через несколько осн., и все законы выводятся по определенным правилам выводов из нескольких осн. правил, аксиом).

Логистика в широком смысле - это учение о логическом исчислении, его предпосылках и применениях, в узком смысле - только учение о логическом исчислении.
Логическое исчисление есть сумма логически интерпретированных исчислений.
Исчисление - это система знаков и правил оперирования с ними. Пример такого исчисления дает шахматная игра: поля и фигуры представляют систему символов, правила ходов есть операционные правила. Формальные предпосылки логического исчисления разрабатывает металогика, учение о философских основах логического исчисления; сюда относится синтаксис (учение об отношениях знаков между собой; см. также Семиотика), семантика и прагматика (учение об отношениях между знаками и теми, кто их использует).

В логистике можно выделить следующие части:
1. Исчисление высказываний. Оно исследует связи между высказываниями как нерасчлененными целыми (см. Высказывания) с помощью функторов, которые приблизительно соответствуют словам «не», «или», «если... то...», «и» и т.д.
Эти функторы называются функциями истинности, потому что значение истинности высказывания (Фреге: «Значение истинности высказывания - это истина или ложь»), которое они образуют, зависит в конечном счете от значения истинности, а не от смысла высказываний, которые служат аргументами этих функторов. Функтор «если... то...» называется импликатором, а его применение образует импликацию. Др. функции истинности - это: негатор (p, «не-р»), дизъюнктор (pvq, "р или q») (союз «или» понимается здесь в неразделительном смысле), конъюнктор (р • q, "p...[kon]q», приблизительно соответствует «и» в разговорном языке), эквивалентор (р  q, «p равно q»; см. также Эквивалент).
2. Исчисление предикатов. Оно анализирует те высказывания, которые исчисление высказываний рассматривает как целое. Предикат - это имя или внешний знак для обозначения свойств. Подчинение свойства «индивидууму», т.е. определенному отдельному предмету, выражается посредством предикатора, объем этого подчинения - посредством квантификатора; в исчисление входят не сами свойства, а лишь предикаторы или квантификаторы.
Свойство, которое обозначается предикатором с одним только аргументом, называется качеством; при нескольких аргументах его называют отношением.
3. Исчисление классов (см. также Класс), причем, напр., класс курильщиков трубок воспринимается как «абстракция» формы выражения «x курит трубку»'; если «f» означает «курить трубки», то x(fx) означает те самые х, для которых верно fx (x курит трубку). Функтор «» поэтому называется абстрактором (компрегенсором); как аргумент, он обладает формой высказываний и образует поэтому класс.
4. Исчисление отношений анализирует высказывания об отношениях («брат кого-то», «больше, чем», «подобно» и т.д.). Если R обозначает «составитель» и а - «Библия», тогда R'а есть класс составителей Библии; если а - «Гомер», то R'а обозначает класс произв. Гомера.
5. Особые исчисления. Сюда относятся: исчисления модальностей, многозначная логика (см. также Формализм), комбинаторная логика, силлогистика.
Кроме приведенных в разделе «Исчисление высказываний» пяти символов, используется примерно еще шестьдесят (кроме больших и малых рим. и греч. букв).

Первые попытки в направлении логистики были сделаны Г.В.Лейбницем.
Его идеи были подхвачены Г.Плокке, И.Г.Ламбертом; вследствие начавшегося вскоре победного шествия трансцендентальной логики Канта их учения почти не привлекли внимания. Позже, независимо от этих учений, основателем «алгебры логики» явился Дж. Буль, опубликовавший в 1874 «The mathematical analysis of logic, being an assay towards a calculus of deductive reasoning».
Дальнейшее развитие она получила в работах Августа де Моргана (1806-1878), Стенли Джевонса, Джона Венна (1834 - 1923), Ч.С.Пирса и др., достигнув вершины в трудах математика Эрнста Шредера (1841-1902; «Der Operationskreis des Logikkalkьls», 1877; «Ьber das Zeichen», 1890; «AbriЯ der Algebra und Logik», 1909).

Подлинным основателем современной логистики является Готтлоб Фреге, который, однако, не получил почти никакого признания в Германии. Его мысли были восприняты итал. математиком Джузеппе Пеано (1858-1932; «Formulaire mathematique», 5 vol., 1895-1908), который ввел в употребление простую символику, получившую в настоящее время самое широкое распространение. Пользуясь ее языком, А. Н. Уайтхед и Б. Рассел написали основополагающую в области логистики работу «Principia Mathematica» (1910-1913). Кроме этого, имеется ряд др. направлений в развитии логистики, важнейшие из которых: исчисление модальностей, развитое К. И. Льюисом, многозначная логика Яна Лукасевича и Э. Л. Поста, комбинаторная логика Керри.
Развитие аксиоматики и методологии исследования было значительно ускорено благодаря работам Давида Гильберта.
Ведущие школы в логистике возникли позже, в период между двумя мировыми войнами, прежде всего в Германии, Польше и США; это привело к быстрому развитию логики, которое продолжается и в настоящее время.

ЛОГИКА (греч. logike'), наука о приемлемых способах рассуждения. Слово "Л." в его совр. употреблении многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреч. logos, от к-рого оно происходит. В духе традиции с понятием Л. связываются три осн. аспекта: онтологический - "Л. вещей", т. е. необходимая связь явлений объективного мира (Демокрит); гносеологический - "Л. знания", т. е. необходимая связь понятий, посредством к-рой познаётся "сущность и истина" (Платон), и демонстративный (доказательный), или собственно логический, - "Л. доказательств и опровержений", т. е. необходимая связь суждений (высказываний) в рассуждениях (умозаключениях), принудительная убедительность ("общезначимость") к-рых вытекает только из формы этой связи безотносительно к тому, выражают эти суждения "сущность и истину" или нет (Аристотель). Первые два аспекта относятся к философии и диалектической логике, последний же аспект составляет собственно логику, или современную Л. (к-рую вслед за И. Кантом иногда наз. формальной Л.). Исторически предмет (собственно) Л. ограничивался своего рода "каталогизацией" правильных аргументов, т, е. таких способов рассуждений, которые позволяли бы из истинных суждений-посылок всегда получать истинные суждения-заключения. Известным со времён античности набором таких аргументов однозначно определялся процесс дедукции, характерный для т. н. т р а- диционной Л., ядро к-рой составляла силлогистика, созданная Аристотелем. По мере изучения особенностей демонстративного мышления предмет традиционной Л. постепенно расширялся за счёт несиллогистических, хотя и дедуктивных способов рассуждений, а также за счёт индукции. Поскольку последняя выпадала из рамок Л. как дедуктивной теории (или совокупности таких теорий), она в конце концов сделалась предметом особой теории, названной индуктивно и Л. Современная Л. является историч. преемником традиционной Л. и в нек-ром смысле её прямым продолжением. Но в отличие от традиционной, для современной Л. характерно построение различного рода формализованных теорий логич. рассуждения - т. н. логич. "формализмов", или логических исчислений, позволяющих сделать логич. рассуждения предметом строгого анализа и тем самым полнее описать их свойства (см. раздел Предмет и метод современной логики). Отображение логич. мышления в логич. исчислениях привело к более адекватному выражению идеи "логоса" как единства языка и мышления, чем это было в эпоху античности и во все эпохи, предшествовавшие 20 в.; в современной Л. это выражение столь очевидно, что, исходя из различных "формализмов", приходится порой говорить о различных "стилях логического мышления". М.М.Новосёлов. История логики. Историч. основу совр. Л. образуют две теории дедукции, созд. в 4 в. до н. э. др.-греч. мыслителями: одна - Аристотелем, другая - его современниками и филос. противниками, диалектиками мегарской школы. Преследуя одну цель - найти "общезначимые" законы логоса, о к-рых говорил Платон, они, столкнувшись, как бы поменяли исходные пути к этой цели. Известно, что основатель мегарской философской школы Евклид из Мегары широко использовал не только доказательства от противного, но и аргументы, по форме близкие к силлогическим, и таковы многие дошедшие до нас софизмы мегариков. В свою очередь, Аристотель в сочинении "Топика" в качестве доказывающего сформулировал осн. правило исчисления высказываний - правило "отделения заключения" (разрешающее при истинности высказываний "если Л, то В" и "Л" как истинное заключение "отделить" высказывание "В"). И если затем он оставил в стороне Л. высказываний, то в этом "повинны" в немалой степени софизмы мегариков, к-рые привели Аристотеля к поискам логич. элементов речи в элементарной её единице - предложении. Именно на этом пути он ввёл понятие высказывания как истинной или ложной речи, открыл, в отличие от грамматической, атрибутивную форму речи - как утверждения или отрицания "чего-либо о чём-то", определил "простое" высказывание как атрибутивное отношение двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и объёмных отношений, аксиому и правила силлогизма. Аристотель создал весьма ограниченную по своим возможностям, но зато законченную теорию' - силлогистику, реализующую в рамках Л. классов идею алгориф- мизации вывода заключении. Аристотелевская силлогистика положила конец "силлогистике" мегариков, последним представителем к-рой был Евбулид из Мил era, писавший против Аристотеля, автор известных парадоксов "лжец", "лысый", "куча" и неск. софизмов. Др. последователи Евклида обратились к анализу условных высказываний, считая, что заключения "о присущем", выражаемые фигурами силлогизма, нуждаются в более общей основе. Диодор Крон из Иаса и его ученик Филон из Мегары ввели понятие импликации и изучали связь импликации и отношения следования, предвосхитив идею теоремы о дедукции. Соглашаясь в том, что условное высказывание - импликация - истинно, когда заключение следует из посылки, они расходились, однако, в толковании понятия "следует". Согласно Диодору, В следует из А, когда импликация А :э В ("если А, то В") необходима, так что нельзя утверждать в зависимости от случая, что иной раз она истинна, а иной раз нет, если Л и В одни и те же высказывания. Филон же полагал, что понятие "В следует из Л" полностью определяется понятием материальной импликации, к-рую он ввёл, дав свод её истинностных значений. Так возникла теория критериев логического следования, впоследствии сделавшаяся частью учения стоиков. Неизвестно, обсуждался ли в мегарской школе вопрос об аксиоматизации Л., но Диоген Лаэрций свидетельствует, что Клитомах из школы Евклида был первым, кто написал не дошедший до нас трактат об аксиомах и предикатах. Логич. идеи мегариков были ассимилированы в филос. школе стоиков, основанной ок. 300 до н. э. Гл. фигурой этой школы был Хрисипп, принявший критерий Филона для импликации и двузначности принцип как онтологич. предпосылку Л. В сочинениях стоиков Л. высказываний предшествует аристотелевской силлогистике, оформляясь в систему правил построения и правил вывода высказываний. Последние по примеру Аристотеля тоже называются силлогизмами. Идея дедукции формулируется более чётко, чем у мегариков, в виде след, предписания: условием формальной правильности заключения В из посылок А±, А2, . . ., An является истинность импликации (А, & А2 & ... & Л„) гэ В. Аргументы, основанные на понимании высказываний только как функций истинности, стоики называли формальными; они могут вести от ложных посылок к истинным следствиям. Если же во внимание принималась содержательная истинность посылок, формальные аргументы назывались истинными. Если посылки и заключения в истинных аргументах относились соответственно как причины и следствия, аргументы наз. д о- казывающими. В общем случае "доказывающие аргументы" стоиков предполагали понятие о естественных законах. Стоики считали их аналитическими и возможность их доказательства посредством аналогии и индукции отрицали. Т. о., развитое стоиками учение о доказательстве шло за пределы Л. в область теории познания, и именно здесь "дедук- тивизм" стоиков нашёл себе филос. противника в лице радикального эмпиризма школы Эпикура - последней наиболее важной для истории Л. школы античности. В споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию, индукцию. Они положили начало индуктивной Л., указав, в частности, на роль противоречащего примера в проблеме обоснования индукции и сформулировав ряд правил индуктивного обобщения. Эпикурейской "каноникой" заканчивается история логич. мысли ранней античности. На смену приходит поздняя античность, эклектически сочетающая аристотелизм и стоицизм. Её вклад в Л. ограничивается по существу переводч. и комментаторской деятельностью поздних перипатетиков (Боэт Сидонский, Александр Эгский, Адраст, Термин, Александр Афродизийский, Гален и др.) и неоплатоников (Порфирий, Прокл, Симпликий, Марий Викторин, Апулей, Августин, Боэций, Кассиодор и др.). Из нововведений эллино-римских логиков заслуживают внимания логический квадрат Апулея, дихотомическое деление и объёмная трактовка терминов силлогизма у Порфирия, идеи аксиоматизации Л. и Л. отношений у Галена, зачатки истории Л. у Секста Эмпирика и Диогена Лаэрция, наконец, подготовившие терминологию средневековой Л. переводы греческих текстов на латинский язык, в частности "Введения" Порфирия Ма- рием Викторином и сочинений Аристотеля, входящих в "Органон", Боэцием. (Именно в логическом словаре Боэция впервые, по-видимому, появляются понятия "субъект", "предикат", "связка", в терминах которых на протяжении многих последующих столетий логики анализировали высказывания.) Под влиянием доктрины стоиков, заимствованной неоплатонизмом, Л. постепенно сближается с грамматикой. В энциклопедии той эпохи -"Сатириконе" Марциана Капеллы - в качестве одного из семи свободных искусств Л. объявляется необходимым элементом гуманитарного образования. Логич. мысль раннего европейского средневековья (7-11 вв.), усваивавшего науч. наследие антич. мира сквозь призму христианского сознания, в творч. отношении значительно беднее эллино- римской. Как самостоят, наука Л. развивается лишь в странах арабской культуры, где философия остаётся относительно независимой от религии. В Европе же складывается в основном схо- ластич. Л. в собственном смысле - цер- ковно-школьная дисциплина, приспособившая элементы перипатетической Л. к нуждам обоснования и систематизации христианского вероучения. Лишь в 12-13 вв., после того как все произведения Аристотеля канонизируются церковной ортодоксией, возникает оригинальная средневековая ("несхоластическая") Л., известная под назв. logica modernorum. Контуры её намечены уже "Диалектикой" Абеляра, но окончательное оформление она получает к кон. 13 - сер. 14 вв. в работах Уильяма Шервуда, Петра Испанского, Иоанна Дунса Скота, Вальтера Бурлея (Бёрли), Уильяма Оккама, Жана Буридана и Альберта Саксонского. В сочинениях этих авторов впервые прослеживаются прообраз "универсума речи" и представление о двояком использовании языка: для выражения мысли о внеязыковых фактах, когда термины "употребляются", и для выражения мысли о самом языке, когда термины "упоминаются" (употребляются автоним- но). Учение о пропозициональных связках и кванторах, символизирующих характер логической связи, служит им естественным основанием для различения между "формой" и "содержанием" суждений. А в связи с задачей однозначного "прочтения" синтаксич. структуры суждения ср.-век. логики неявно используют и понятие "области действия" логических операций. Их учение о "следовании" основывается на различии между материальной импликацией и формальной, или тавтологичной, импликацией: для первой можно указать контрпример, для второй - нет. Поэтому материальная импликация рассматривается как выражение содержательного, или фактич., следования, а формальная - логического. Ср.-век. логики открыли многие известные теперь законы Л. высказываний, к-рая составляла основу их теории дедукции и к-рая, как и у стоиков, считалась более общей, чем аристотелевская силлогистика. В этот же период впервые зародилась идея машинизации процесса логического вывода и были предприняты первые попытки её реализации (Р. Луллий). Последующие два столетия -эпоха Возрождения-для дедуктивной Л. были эпохой кризиса. Её воспринимали как опору мыслительных привычек схоластики, как Л. "искусственного мышления", освящающую схематизм умозаключений, в к-рых посылки устанавливаются авторитетом веры, а не познания. Руководствуясь общим лозунгом эпохи: "вместо абстракций - опыт", дедуктивной Л. стали противопоставлять Л. "естественного мышления", под к-рой обычно подразумевались интуиция и воображение. Леонардо да Винчи и Ф. Бэкон переоткрывают античную идею индукции и индуктивного метода, выступая с резкой критикой силлогизма. И лишь немногие, подобно падуанцу Я. Дзабарелле (16 в.), пробуют вернуть в методологию науч. мысли традиционную логич. дедукцию, предварительно освободив её от схоластической философской интерпретации. Книги Дзабареллы оказали заметное влияние на положение Л. в 17 в. Уже у Т. Гоббса и П. Гассенди дедуктивная Л. полностью освобождается от связи с теологией и перипатетич. философией. Несколько раньше основатель точного естествознания Г. Галилей восстанавливает права абстракции. Он обосновывает потребность в абстракциях, к-рые бы "восполняли" данные опытных наблюдений, и указывает на необходимость введения этих абстракций в систему дедукции в качестве гипотез, или постулатов, или аксиом, с послед, сравнением результатов дедукции с результатами наблюдений. Критицизм в отношении схоластики и одновременная реабилитация дедукции, правда, при нек-ром снижении интереса к формальной стороне доказательств, характерны для картезианской, т. е. опирающейся на методологич. идеи Р. Декарта, логики, систематически изложенной в соч. А. Арно и П. Николя "Логика, или Искусство мыслить" (1662), вошедшей в историю под назв. логики Пор- Рояля. В этой книге Л. представлена как рабочий инструмент всех др. наук и практики, поскольку она принуждает к строгим формулировкам мысли. Картезианская идея mathesis univer- salis стала ведущей в Л. сер. 17 - нач. 18 вв. Особое место в её развитии принадлежит Г. В. Лейбницу. Вслед за Р. Декартом, Т. Гоббсом и логиками Пор-Рояля Лейбниц считал возможным создать "всеобщую символику", своеобразный искусств, язык, к-рый был бы свободен от многозначностей, присущих естеств. разговорным языкам, понимался без словаря и был бы способен точно и однозначно выражать мысли. Такой язык мог бы играть роль вспомогат. междунар. языка, а также служить орудием открытия новых истин из известных. Анализируя категории Аристотеля, Лейбниц пришёл к идее выделения простейших исходных понятий и суждений, к-рые могли бы составить "алфавит человеческих мыслей"; эти первичные неопределяемые понятия, скомбинированные по определённым правилам, должны давать все остальные точно определимые понятия. Лейбниц полагал, что одновременно с таким анализом понятий можно создать универсальный алгоритм, к-рый позволит провести доказательство всех известных истин и составить тем самым "доказательную энциклопедию". С целью реализации этого замысла Лейбниц дал несколько вариантов а р и- фметизации логики. В одном из них каждому исходному понятию сопоставляется простое число, каждому составному - произведение простых чисел, сопоставленных исходным понятиям, образующим данное составное (эта замечательная по своей простоте идея сыграла впоследствии исключительно важную роль в математике и логике благодаря работам Г. Кантора и К. Гёделя). К Лейбницу же восходят многие методологически важные фрагменты совр. Л. Так, большое значение он придавал проблеме тождества. Принимая схоластич. принцип индивидуации (принцип "внутреннего различия"), положенный им в основу монадологии, Лейбниц отказался от онтологизации тождества, определяя тождество через сохраняющую истинность взаимозаменимость в контексте и намечая тем самым путь к построению теорий тождества, основанных на а б с т- ракции отождествления. Хотя Лейбниц непосредственно не занимался индуктивной Л., соответствующая проблематика вполне им учитывалась. В частности, она нашла отражение в проводившемся им различении "истин разума" и "истин факта"; для проверки истин разума, по Лейбницу, достаточно законов аристотелевской Л.; для проверки истин факта, т. е. эмпирич. истин, нужен ещё (сформулированный Лейбницем) достаточного основания принцип. В связи с этим Лейбниц рассматривал поставленную Галилеем проблему подтверждения общих суждений о действительности эмпирич. фактами, явившись тем самым одним из создателей теории т. н. гипотетико-дедуктивного метода. Исходным пунктом индуктивной Л. нового времени служили методологические идеи Бэкона, но систематически эта логика - Л., исследующая "обобщающие выводы" как заключения, основанные на установлении причинной связи (см, Причинность) между явлениями,- была разработана Дж. С. Миллем (1843), к-рый опирался, в свою очередь, на идеи Дж. Гершеля. Развитая Миллем теория индуктивных умозаключений стала предметом разработки и критики как в Л. 19 в., так и в Л. 20 в. (в частности, в работах рус. логиков М. И. Карин- ского и Л. Б. Рутковского и статистика А. А. Чупрова). При этом она была поставлена в связь с проблематикой теории вероятностей, с одной стороны, и алгебры логики - с другой (начиная уже с работ У. С. Джевонса). Индуктивная Л. 19 в., центральным вопросом к-рой был вопрос о способах обоснования эмпирич. заключений о закономерных (регулярных) связях явлений, в 20 в., с одной стороны, трансформировалась в вероятностную логику, а с другой - вышла за пределы Л. в собственном смысле, приобретя в существенно обогащённом виде новую жизнь в современной математич. статистике и теории планирования эксперимента. Индуктивная Л. не была, однако, главной линией развития логич. мысли. Этой линией стало развитие строго дедуктивной - математической - логи-. ки, истоки к-рой были заключены уже в соч. Лейбница.' Хотя большая часть логич. наследия последнего оставалась неопубликованной до нач. 20 в., прижизненное распространение его идей оказало заметное влияние на развитие алгебро- логич. методов в Л., в процессе к-рого уже в 19 в. в трудах О. де Моргана, Дж. Буля, нем. математика Э. Шредера, П. С. Порецкого и др. путём применения математического (в основном алгебраического) метода к Л. была построена развитая логическая теория алгебраического характера, на основе которой в дальнейшем сформировалась современная алгебра Л. Центральной фигурой этого "алгебро- логического" этапа в истории Л. был Буль. Он разработал свою алгебру Л. (термин "алгебра логики" был введён после Буля Ч. Пирсом) как обычную для того времени алгебру, а не как дедуктивную систему в позднейшем смысле. Не удивительно, что Буль стремился сохранить в своей алгебре Л. все арифметич. операции, в том числе вычитание и деление, к-рые оказалось трудно истолковать логически.Алгебра логики Буля (интерпретировавшаяся прежде всего как логика классов, т. е. объёмов понятий) была значительно упрощена и усовершенствована Джевонсом, отказавшимся в Л. от операций вычитания и деления. У Джевонса мы уже встречаем ту алгебраич. систему, к-рая впоследствии получила название "булевой алгебры" (у самого Буля, использовавшего в своей алгебре операцию, соответствующую исключающему логич. союзу "или", т. е. строгую дизъюнкцию, а не распространённую в современной Л. "обычную", слабую, дизъюнкцию, "булевой алгебры" непосредственно не было). Строгие методы решения логич. уравнений были предложены Шредером (1877) и Порецким (1884). Многотомные "Лекции по алгебре логики" (1890-1905) Шредера (вместе с работами Порецкого вплоть до 1907) явились высшей точкой развития алгебры Л. 19 в. История алгебры Л. началась с попыток перенести в Л. все операции и законы арифметики, но постепенно логики начинали сомневаться не только в правомерности, но и в целесообразности такого переноса. Они выработали специфические именно для Л. операции и законы. Наряду с алгебраическими в Л. издавна применялись геометрические (точнее, графические) методы. Приёмами представления модусов силлогизмов с помощью геометрических фигур владели антич. комментаторы Аристотеля. Использование с этой целью кругов, обычно приписываемое Л. Эйлеру, было из- ! вестно ещё И. К. Штурму (1661) и Лейб- : ницу, владевшему и отличными от эйлеровых методами. Способы геометрической интерпретации предложений Л. имелись у И. Г. Ламберта и Б. Больцано. Но особенного расцвета эти методы достигли в трудах Дж. Вечна, разработавшего гра- фич.'аппарат диаграмм (см. Логические диаграммы), фактически полностью эквивалентный Л. классов и носящий уже не только иллюстративный, но и эвристич. характер. К кон. 19 в. в дедуктивной Л. произошёл глубокий переворот, связанный с работами Дж. Пеано, Пирса и Г. Фреге, к-рые преодолели узость чисто алгебра- ич. подхода прежних авторов, осознали значение математич. Л. для матема- ' тиков и начали применять её к вопросам оснований арифметики и теории множеств. Достижения этого периода, в особенности связанные с аксиоматич. построением Л., в наиболее чёткой форме молено проследить в исследованиях Фреге. Начиная со своей работы "Исчисление понятий" (1879), он развил совершенно строгое аксиоматич. построение исчисления высказываний и предикатов. Его формализованная Л. содержала все осн. элементы совр. логич. исчислений: пропозициональные переменные (переменные для высказываний), предметные перемен- н ы е, кванторы (для к-рых он ввёл спец. символы) и предикаты; он подчёркивал различие между логическими законами и правилами логич. вывода, между переменной и константой, различал (не вводя, правда, особых терминов) язык и метаязык (см. Метатеория, Метаязык), Его исследования (так же как аналогичные работы Пирса) в области логич. структуры естеств. языка и семантики логич. исчислений положили начало проблемам логической семантики. Большой заслугой Фреге явилась разработка системы формализованной арифметики, основанной на развитой им логике предикатов. Эти работы Фреге и выявившиеся в связи с ними трудности послужили исходным пунктом развития современной теории математического доказательства. Фреге употреблял оригинальную символику, к-рая, в отличие от обычно применяемой одномерной, была двумерной (она не привилась). Совр. система обозначений в Л. восходит к символике, предложенной Дж. Пеано. С нек-рыми изменениями она была воспринята Б. Расселом, создавшим совместно с А. Н. Уайт- хедом трёхтомный труд "Принципы математики" - труд, систематизировавший и развивший далее дедуктивно-аксиома- тич. построение Л. в целях логич. обоснования математич. анализа (см. Логицизм). С этого сочинения я начавших появляться с 1904 работ Д. Гильберта по математич. Л. естественно датировать начало совр. этапа логич. исследований. М. М. Новосёлов, 3. А. Кузичева, Б. В. Бирюков. Предмет и метод современной логики. Современная Л. развилась в точную науку, применяющую математич. методы. Она стала, по словам Порецкого, м а- тематической логикой - Л. по предмету, математикой по методу. В этом качестве Л. стала пригодной для правильной постановки и решения логич. проблем математики, в особенности проблем, связанных с доказуемостью и недоказуемостью тех или иных положений математич. теорий. Точная постановка таких проблем требует прежде всего уточнения понятия доказательства. Всякое математич, доказательство состоит в последоват. применении тех или иных логич. средств к исходным положениям. Но логич. средства не представляют собой чего-то абсолютного, раз навсегда установленного. Они вырабатывались в процессе многовековой человеческой практики; "...практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом" (Ленин В. И., Поли. собр. соч., 5 изд., т. 29, с. 172). Человеческая практика является, однако, на каждом ист. этапе ограниченной, а объём её всё время растёт. Логич. средства, удовлетворительно отражавшие практику человеческого мышления на данном этапе или в данной области, могут оказаться неподходящими на след, этапе или в другой области. Тогда в зависимости от изменения содержания рассматриваемого предмета изменяется и способ его рассмотрения - изменяются логич. средства. Это в особенности относится к математике с её далеко идущими многократными абстракциями. Здесь совершенно бессмысленно говорить о логич. средствах как о чём-то данном в своей совокупности, как о чём-то абсолютном. Зато имеет смысл рассмотрение логич. средств, применяемых в той или иной конкретной обстановке, встречающейся в математике. Их установление для к.-л. данной математич. теории и составляет искомое уточнение понятия доказательства применительно к этой теории. Важность этого уточнения для развития математики выявилась в особенности в связи с проблемами её оснований. Разрабатывая множеств теорию, исследователи столкнулись с рядом своеобразных трудных проблем. Исторически первой из них явилась проблема о мощности континуума, выдвинутая Кантором (1883), к к-рой до 1939 не было найдено подходов (см. Континуума проблема). Другие проблемы, столь же упорно не поддававшиеся решению, встретились в т. н. дескриптивной теории множеств, успешно разрабатываемой сов. математиками. Постепенно становилось всё более ясно, что трудность этих проблем имеет логич. природу, что эта трудность обусловлена неполной выявлен- ностыо применяемых логич. средств и что единств, путём к её преодолению является уточнение этих средств. Выяснилось, т. о., что разрешение этих задач требует привлечения новой математич. науки - математической логики. Надежды, возлагавшиеся на математич. Л. в связи с этими проблемами, оправдались. В особенности это касается проблемы континуума, к-рая может считаться полностью решённой благодаря работам К. Гёделя (1939) и П. Коэна (1963). Первый из них доказал совместимость обобщённой континуум-гипотезы Кантора с аксиомами теории множеств в предположении непротиворечивости последних. Второй при том же предположении доказал независимость континуум-гипотезы от аксиом теории множеств, т. е. её недоказуемость. Аналогичные результаты были получены П. С. Новиковым (1951) в отношении ряда проблем дескриптивной теории множеств. Уточнение понятия доказательства в математич. теории путём установления допускаемых логич. средств является существенным этапом её развития. Теории, прошедшие этот этап, наз. дедуктивными теориями. Лишь для них допускают точную формулировку интересующие математиков проблемы доказуемости и непротиворечивости. Для решения этих проблем в совр. Л. применяется метод формализации доказательств - один из основных её методов. Сущность его состоит в следующем. Формулировки теорем и аксиом развиваемой теории полностью записываются в виде формул, для чего употребляется особая символика, пользующаяся, наряду с обычными математич. знаками, знаками для логич. связок, применяемых в математике: "... и ...", "... или ...", "если ..., то ...", "неверно, что ...", "при всяком ...", "существует ... такой, что ...". Всем логич. средствам, с помощью к-рых теоремы выводятся из аксиом, ставятся в соответствие правила вывода новых формул из уже выведенных. Эти правила формальны, т. е. таковы, что для проверки правильности их применений нет надобности вникать в смысл формул, к к-рым они применяются, и формулы, получаемой в результате; надо лишь убедиться, что эти формулы построены из таких-то знаков, так-то расположенных. Доказательство теоремы отображается в выводе выражающей её формулы. Вывод же этот рассматривается как ряд формул, в конце к-рого стоит формула, подлежащая выводу. В выводе всякая формула либо выражает аксиому, либо получается из одной или нескольких предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула считается выводимой, если может быть построен её вывод. Если сопоставление правил вывода применяемым логич. средствам было произведено надлежащим образом, то получают возможность судить о доказуемости теорем в данной теории по выводимости выражающих их формул. Выяснение выводимости или невыводимости той или иной формулы есть задача, не требующая привлечения далеко идущих абстракций, и решать эту задачу часто бывает возможно сравнительно элементарными методами. Идея метода формализации доказательств принадлежит Д. Гильберту. Проведение этой идеи стало, однако, возможным благодаря предшествовавшей разработке математич. Л. (см. раздел История логики). Применение идеи формализации доказательств бывает обычно связано с выделением логической части рассматриваемой дедуктивной теории. Эта логическая часть, оформляемая, как и вся теория, в виде нек-рого исчисления, т. е. системы формализованных аксиом и формальных правил вывода, может тогда рассматриваться как самостоятельное целое. Простейшими из логич. исчислений являются исчисления высказываний: классическое и интуиционистское. В них употребляются след, знаки: 1) т. н. логические переменные -буквы А, В, С, . . . , означающие произвольные "высказывания" (смысл этого термина объясняется ниже); 2) знаки логич. связок означающие соответственно "... и ...", "... или ...", "если ..., то ...", "неверно, что ..."; 3) скобки, выявляющие строение формул. Формулами в этих исчислениях считаются логич. переменные и всякие выражения, получаемый из них путём повторного применения следующих операций: 1) присоединение к ранее построенному выражению знака слева, 2) написание двух ранее построенных выражений рядом друг за другом со включением одного из знаков или  между ними и с заключением всего в скобки. Напр., следующие выражения являются формулами: В  обоих исчислениях высказываний - классическом и интуиционистском - употребляются одни и те же правила вывода. Правило подстановки. Из формулы выводится новая формула путём подстановки всюду вместо к.-л. логич. переменной произвольной формулы. Правило вывода заключений. Из формул выводится формула Эти правила отражают обычные способы рассуждений: переход от общего к частному и вывод следствий из доказанных посылок. Различие между двумя исчислениями высказываний проявляется в наборах их аксиом. В то время как в классич. исчислении высказываний в качестве аксиом принимаются все формулы 1-11, в интуиционистском исчислении высказываний лишь первые десять из этих формул принимаются в качестве аксиом. Одиннадцатая формула, выражающая закон исключённого третьего (см. ниже), оказывается невыводимой в интуиционистском исчислении. Чтобы получить представление о выводе формул в исчислениях высказываний, выведем в интуиционистском исчислении формулу выражающую закон противоречия. Применим правило подстановки к аксиомам 3 и 4, подставив в них формулу  вместо переменной В: Подставив затем в аксиому 10 формулу вместо А, получим Подставив далее в формулу (3) формулу А вместо переменной В, получим Применив к формулам (1) и (4) правило вывода заключений, получим Применив, наконец, правило вывода заключений к формулам (2) и (5), полу- чим формулу к-рая, т. о., выводима в интуиционистском исчислении высказываний. Формальное различие двух исчислений высказываний отражает глубокое различие в их истолкованиях, различие, касающееся смысла логич. переменных, т. е. самого понимания термина "высказывание". При общепринятом истолковании классич. исчисления высказываний этот термин понимается примерно как "суждение" в смысле Аристотеля (см. Суждение). Предполагается, что высказывание непременно истинно или ложно. Подстановка произвольных высказываний, т. е. суждений, вместо логич. переменных в формулу даёт нек-рую логич. комбинацию этих суждений, рассматриваемую также как суждение. Истинность или ложность этого суждения определяется исключительно истинностью или ложностью суждений, подставляемых вместо логических переменных, согласно следующим определениям смысла логических связок. Суждение вида наз. конъюнкцией суждений Р и О. есть суждение истинное, когда истинны оба эти суждения, и ложное, когда ложно хотя бы одно из них. Суждение вида наз. дизъюнкцией суждений Р и О. есть суждение истинное, когда истинно хотя бы одно из этих суждений, и ложное, когда ложны оба. Суждение вида наз. импликаци- е и суждений Р и О, есть суждение ложное, когда истинно Р и ложно О. и истинное во всех остальных случаях. Суждение вида наз. отрицанием суждения Р, есть суждение истинное, когда Р ложно, и ложное, когда Р истинно. Необходимо отметить, что, согласно данному выше определению, импликация не вполне совпадает по смыслу с житейским словоупотреблением связки "если..., то...". Однако в математике эта связка обычно применялась именно в смысле этого определения импликации. Доказывая теорему вида "если Р, то Q", где Р и О суть нек-рые математич. суждения, математик делает предположение об истинности Р и тогда доказывает истинность О. Он продолжает считать теорему верной, если впоследствии будет доказана ложность Р или О.

- психология -
 (А - В) (Г - З) (И - Л) (М - О) (П - С) (Т - Я)

- физиология -

 

   

- человек - концепция - общество - кибернетика - философия - физика - непознанное
главная - концепция - история - обучение - объявления - пресса - библиотека - вернисаж - словари
китай клуб - клуб бронникова - интерактив лаборатория - адвокат клуб - рассылка - форум